2020年3月1日，A公司为支付货款，向B公司签发了一张金额为100万元的银行承兑汇票，汇票到期日为2020年9月1日。甲银行作为承兑人在该汇票上签章。B公司收到该汇票后拟将其背书转让给C公司，以偿还所欠C公司的租金，但未在被背书人栏内记载C公司的名称。C公司欠D公司100万元的货款，遂直接将D公司记载为B公司的被背书人，并将该汇票交付给D公司。4月1日，D公司将该汇票背书转让给E公司，用于偿付工程款，并于票据上注明：“工程验收合格则转让生效”。后来D公司与E公司因工程存在严重质量问题，未能验收合格而发生合同纠纷。
4月10日，E公司为履行向F中学捐资助学的承诺，将该汇票背书转让给F中学，并在背书人栏内记载“不得转让”字样。F中学对于D公司与E公司之间的合同纠纷并不知情。
4月20日，F中学将该汇票背书转让给G公司，用于支付房屋租金。G公司对于D公司与E公司之间的合同纠纷并不知情。
9月4日，G公司向甲银行提示付款，甲银行以A公司未在该行存入足够资金为由拒绝付款。G公司遂向C公司、D公司、E公司和F中学行使追索权。E公司以自己在汇票上记载有“不得转让”字样为由拒绝承担票据责任。D公司以自己与E公司之间存在合同纠纷为由拒绝承担票据责任。F中学承担票据责任后，向D公司行使追索权。D公司仍以自己与E公司之间存在合同纠纷为由拒绝承担票据责任。
要求：
根据上述内容，分别回答下列问题：
(1)甲银行拒绝付款的理由是否成立?并说明理由。
(2)D公司向E公司的背书行为是否有效?并说明理由。
(3)G公司能否向C公司行使追索权?并说明理由。
(4)E公司拒绝G公司追索的理由是否成立?并说明理由。
(5)D公司拒绝G公司追索的理由是否成立?并说明理由。
(6)D公司拒绝F中学追索的理由是否成立?并说明理由。