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苏某(男)与牛某(士)于1999年结婚,婚后夫妻感情较好但双方一直没有子女。2002年牛某在同学聚会时巧遇自己的初恋情人宋某,旧情复燃之下,双方发生了婚外性行为。不久,牛某发现自己怀孕,经推算日期,这个孩子是采某的,但牛某没有告诉宋某。2003年7月,牛某生下一子,此后生活渐趋平静。2006年以后,由于对父母的赡养问题和其他生活琐事,二人经常发生争执。一次激烈争吵时,苏某动手打了牛某,牛某一时气愤,说出了孩子不是苏某亲骨内的事实,在苏某的追问之下,牛某说出了事情的真相。苏某决定与牛某离婚,双方很快达成了离婚协议,协议中约定孩子由牛某抚养,苏某不承担抚养费。2008年5月,双方正式离婚。离婚后牛某单独抚养孩子,负担很重,于是找到宋某,要求宋某支付孩子的抚养费,起初宋某不承认孩子是他的,后虽然承认孩子是其亲生的,但拒绝支付抚养费。2008年10月,牛某作为孩子的法定代理人,向人民法院提起诉讼,要求宋某承担抚养义务,支付抚养费。 根据上述案情,回答下列问题并简述理由: 结合相关法律,本案应如何处理?